[R.P.] A ARITMÉTICA foi formalizada pelo matemático italiano Giuseppe Peano. Os teoremas da aritmética são demonstrados com a ajuda da lógica matemática. Em 1931, foi publicado um paper em que Kurt Gödel demonstrou os TEOREMAS DE INCOMPLETUDE da aritmética. Esses são os teoremas matemáticos mais comentados do mundo não somente pelas suas implicações matemáticas mas inclusive pelas suas implicações filosóficas. O primeiro teorema é a construção de uma sentença que afirma sua própria não-demonstrabilidade na aritmética. O segundo teorema afirma que se a aritmética é consistente, então nem todas as verdades da aritmética são demonstradas nessa aritmética. Um exemplo de sentença na aritmética que não possui demonstração é a Conjectura de Goldbach, que afirma que qualquer número maior que 4 é a soma de dois números primos. Para Gödel demonstrar esses teoremas foi necessário transformar toda relação lógica de demonstração na aritmética em linguagem numérica. Para isso foram usadas nada menos que 46 funções em sua maioria funções recursivas. Basicamente esses teoremas dizem que existem relações numéricas que não são demonstradas pela aritmética e nem a consistência da aritmética é demonstrada por ela. O raciocínio usado aqui se chama "DIAGONALIZAÇÃO" Pega-se uma totalidade e se constrói um argumento para mostrar que existe pelo menos um elemento fora dessa totalidade: Tome o conjunto de todas as sentenças demonstráveis na aritmética, existe pelo menos uma que não faz parte da totalidade dessas sentenças demonstráveis, que é essa exceção. Se essa sentença for adicionada ao conjunto de sentenças demonstráveis, a aritmética se torna inconsistente. Por isso a aritmética é incompleta. O físico Alan Sokal em seu livro "Imposturas Intelectuais" dedica um capítulo para mostrar algumas utilizações desses teoremas em campos como a política e até na prova da existência de Deus. Sokal mostra os delírios por trás de uma associação "nada a ver" com a matemática com esses campos. Popper em seu livro "O universo aberto" usa os teoremas de incompletuce de Gödel para argumentar contra o determinismo científico, num argumento que mostra que é impossível existir uma "auto-previsão" na ciência. Um estudante de Lógica que deseja conhecer os teoremas de incompletude de Gödel tem que se deleitar com a leitura e os exercícios do monumental "Introduction do Metamathematics" do grande lógico Stephen Kleene. Um livro introdutório de Nagel e Newman sobre o tema se chama "A prova de Gödel", obra prima para os iniciantes em Lógica. O vídeo que se segue é uma biografia do grande lógico-matemático Kurt Gödel, que mantinha suas opiniões não muito usuais a respeito do universo. (i) Gödel chegou a realizar uma demonstração formal da existência de Deus; (ii) Gödel mantinha uma versão forte do Platonismo na Matemática; (iii) Gödel acreditava que era possível fazer uma viagem no tempo, assim como no filme "De Volta da o Futuro", etc.
Posted on: Thu, 18 Jul 2013 06:32:48 +0000
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