Captulo 1 Revis~ao Elementar: Introduc~ao aos Conjuntos Este livro tem por principal objetivo apresentar ao estudante um estudo pr´evio das principais e mais simples fun¸c˜oes utilizadas nas ´areas de Matem´atica e F´ısica (a saber fun¸c˜oes polinomiais de primeiro e segundo graus, fun¸c˜ao modular, fun¸c˜ao exponencial, fun¸c˜ao logar´ıtmica e fun¸c˜oes trigonom´etricas) sem fazer uso dos conceitos e ferramentas do c´alculo diferencial e integral, mas aprendendo a operar com estas fun¸c˜oes e construindo seus gr´aficos e os gr´aficos de combina¸c˜oes das mesmas. Antes de come¸carmos o nosso estudo de fun¸c˜oes, no entanto, faz-se necess´aria uma breve revis˜ao de alguns conceitos de matem´atica elementar que s˜ao aprendidos no ensino fundamental e m´edio e que, em muitos casos, os alunos j´a esqueceram ao chegar ao ensino universit´ario ou n˜ao viram de forma adequada em seu ensino fundamental e m´edio. Para trabalhar adequadamente com as fun¸c˜oes em geral precisamos conhecer os principais conjuntos num´ericos e aprender a trabalhar e operar matematicamente com os elementos deste conjuntos. Antes, por´em, iremos fazer uma breve introdu¸c˜ao sobre conjuntos para relembrarmos algumas no¸c˜oes sobre conjuntos e para nos acostumarmos com a nota¸c˜ao de conjuntos e com as opera¸c˜oes de uni˜ao e intersec¸c˜ao de conjuntos que iremos utilizar bastante para, por exemplo, determinarmos e escrevermos os dom´ınios e imagens de fun¸c˜oes nos cap´ıtulos a seguir. 1 1.1 Noc~oes iniciais Os conjuntos num´ericos s˜ao conjuntos cujos elementos s˜ao n´umeros que guardam, entre si, uma caracter´ıstica comum e, por isto, possuem elementos perfeitamente caracterizados. Ao estudarmos e trabalharmos em Matem´atica, F´ısica e Engenharia, estamos fazendo opera¸c˜oes definidas dentro de um conjunto num´erico. Por exemplo, ao fazermos uma opera¸c˜ao entre dois elementos de um conjunto num´erico e obtendo como resultado um outro elemento desse mesmo conjunto num´erico, dizemos que a opera¸c˜ao est´a definida dentro do conjunto num´erico. Assim, para contextualizar a revis˜ao acerca dos conjuntos num´ericos, vamos apresentar nesta se¸c˜ao uma breve revis˜ao dos principais conceitos da teoria de conjuntos que precisaremos no decorrer do cap´ıtulo e tamb´em do livro. Os primeiros conceitos que precisamos relembrar/conhecer s˜ao as defini¸c˜oes relacionadas a conjuntos e a seus elementos. • Conjunto ´e uma cole¸c˜ao bem de nida de objetos. • Os objetos de um conjunto s˜ao chamados de membros ou elementos. • Classe, colec~ao e famlia s˜ao sinˆonimos para conjuntos. • Para designar os conjuntos usamos, no geral, letras mai´usculas. Podemos tomar como exemplo os seguintes conjuntos: 1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }. 2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }. 3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }, conjunto dos n´umeros naturais. 4. W = {amarelo, branco, preto}. 5. V = {⃗v| ⃗v ´e um segmento orientado, horizontal, orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }. 6. P = {x| x ´e aluno da Escola de Ciˆencias e Tecnologia}. As defini¸c˜oes e propriedades que vamos estudar nesta se¸c˜ao valem tamb´em para os conjuntos num´ericos. Os Conjunto Numericos, como j´a foi dito, s˜ao conjuntos cujos elementos s˜ao n´umeros que guardam entre si uma caracter´ıstica comum. Tais conjuntos possuem elementos muito bem caracterizados. 2 Os principais conjuntos num´ericos s˜ao: • IN: conjunto dos n´umeros naturais; • Z: conjunto dos n´umeros inteiros; • I Q: conjunto dos n´umeros racionais; • II: conjunto dos n´umeros irracionais; • IR: conjunto dos n´umeros reais; • C: conjunto dos n´umeros complexos. Estes conjuntos num´ericos, excetuando-se o conjunto C, ser˜ao revisados/estudados em nosso livro e, mais especificamente, neste cap´ıtulo. 1.2 Representac~ao dos conjuntos Nos exemplos de conjuntos que vimos, usamos duas maneiras distintas para especificar os conjuntos. a) Listando seus elementos separados por v´ırgulas e entre chaves. 1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }. 2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }. 3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }. 4. W = {amarelo, branco, preto}. b) Descrevendo as propriedades que caracterizam estes elementos. 5. V = {⃗v| ⃗v ´e um segmento orientado, horizontal, orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }. 6. P = {x| x ´e aluno da Escola de Ciˆencias e Tecnologia}. Um mesmo conjunto pode ser especificado por qualquer das duas maneiras. Assim, por exemplo, podemos ter: 1. A = {1, 3, 5, 7, . . . } A = {x| x ´e um n´umero ´ımpar} 3 2. B = {0, 2, 4, 6, 8, . . . } B = {x| x ´e um n´umero par} B = {x = 2k| x ∈ IN} 3. C = {1, 2, 3, 4, 5} C = {x| x ∈ IN; 1 ≤ x ≤ 5} Observac~oes importantes 1. A ordem na qual os elementos s˜ao apresentados dentro do conjunto n˜ao ´e importante. Assim, os conjuntos D = {a, b, c, d} e C = {b, d, c, a} s˜ao idˆenticos. 2. O conjunto vazio ´e, em nosso livro e na maioria dos livros did´aticos, representado pelo s´ımbolo ∅. 3. Usa-se, normalmente, o s´ımbolo ♯ para representar o n´umero de elementos de um conjunto. 4. Usamos retiscˆencias, ap´os indicar alguns elementos de um conjunto (como no conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . . }), para indicar que o conjunto ´e infinito. Por conven¸c˜ao, s´o colocamos as retiscˆencias quando j´a est´a subentendido quais s˜ao os pr´oximos elementos do conjunto (no caso do conjunto A, j´a se percebeu que os elementos a seguir s˜ao 9, 11, 13 e os demais n´umeros ´ımpares). 5. Conjuntos que n˜ao tem elementos em comum s˜ao ditos disjuntos. Vamos ao exemplo a seguir para fixar melhor alguns destes conceitos. Exemplo: Determine o n´umero de elementos dos conjuntos enunciados a seguir. a) P = {x| x ∈ IN; 0 < x < 1} Resposta: N˜ao h´a nenhum n´umero natural que obede¸ca `a condi¸c˜ao 0 < x < 1, ou seja, P = ∅ =⇒ ♯P = 0. b) C = {amarelo, azul, vermelho, branco} Resposta: O n´umero de elementos de C ´e 4, ou seja, ♯C = 4. c) IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } Resposta: O conjunto dos n´umeros naturais tem infinitos elementos, ou seja, ♯IN = +∞. 4 1.3 Relac~ao de pertin^encia A letra grega ∈ d´a a rela¸c˜ao de pertinˆencia entre elementos e conjuntos. Por exemplo, dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . . }, podemos escrever que: 1 ∈ A; e 2 /∈ A. Vamos entender melhor o uso da rela¸c˜ao de pertinˆencia com o exemplo a seguir. Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, . . . } e B = {0, 2, 4, 6, . . . }. Podemos escrever que: a) 0 ∈ A? Resposta: N~ao, pois o conjunto A ´e o conjunto dos n´umeros ´ımpares e o zero ´e par. Podemos escrever que 0 /∈ A. b) 7 ∈ A? Resposta: Sim, pois o conjunto A ´e o conjunto dos n´umeros ´ımpares e o n´umero sete ´e ´ımpar e, portanto, pertence ao conjunto A. c) 1 ∈ B? Resposta: N~ao, pois o conjunto B ´e o conjuntos dos n´umeros pares e o n´umero um ´e ´ımpar. Podemos escrever que 1 /∈ B. d) 3 ∈ B? Resposta: N~ao, pois o conjunto B ´e o conjuntos dos n´umeros pares e o n´umero trˆes ´e ´ımpar. Podemos escrever que 3 /∈ B. Devemos ressaltar que, de forma alguma, pode-se usar ∈ para relacionar um conjunto a outro. Por exemplo, se A = {1, 3, 5, 7, . . . } e C = {1, 3, 5}, N~AO podemos escrever que C ∈ A. 1.4 Subconjuntos Consideremos dois conjuntos A e B. Esses conjuntos s˜ao tais que todos os elementos do conjunto A s˜ao tamb´em elementos do conjunto B. Dizemos que o conjunto A ´e subconjunto de B e escrevemos: A ⊂ B ou A ⊆ B Tamb´em podemos dizer que B cont´em A e escrever: B ⊇ A 5 Se A ⊆ B e existe pelo menos um elemento de B que n˜ao pertence a A, dizemos que A ´e subconjunto pr´oprio de B e escrevemos: A B Para que dois conjuntos sejam iguais devemos ter a seguinte condi¸c˜ao: A = B ⇔ A ⊆ B; B ⊆ A Exemplo: Considere o conjunto dos n´umeros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}, o conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . .} e o conjunto vazio ∅. Podemos escrever que: i) A IN? Resposta: Sim, pois todo elemento de A tamb´em ´e elemento de IN e em IN h´a elementos que n˜ao pertencem a A. ii) ∅ A? Resposta: Sim, pois todo elemento de ∅ tamb´em ´e elemento de A e h´a elementos de A que n˜ao pertencem ao conjunto ∅. iii) ∅ ∈ A ? Resposta: N~ao, ∅ n˜ao ´e elemento do conjunto A. iv) {∅} ⊂ A ? Resposta: N~ao, pois ∅ n˜ao ´e elemento do conjunto A. v) ∅ ⊂ ∅ ? Resposta: Sim, pois todo elemento do conjunto ∅ pertence ao conjunto ∅. Importante: Sejam A, B e C trˆes conjuntos. Ent˜ao, ´e sempre verdade que: 1. A ⊆ A. 2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, ent˜ao A = B. 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜ao A ⊆ C. 6 1.5 Conjunto Universo - Ω Uma teoria ´e desenvolvida, em geral, usando subconjuntos de um dado conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos usados na teoria ´e denominado conjunto universo. Normalmente, usamos a letra grega Ω (Omega mai´uscula) para indicar este conjunto. Exemplos: 1. Ao estudarmos popula¸c˜oes ou ao fazermos contagem de elementos, o conjunto universo ´e o conjunto dos n´umeros naturais, ou seja, Ω = IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. 2. Em nosso livro o conjunto universo ser´a o conjunto dos n´umeros reais, Ω = IR. 3. Na maioria dos componentes curriculares e textos da ´area de exatas, o conjunto universo ´e o conjunto dos n´umeors reais (IR), mas em alguns poucos casos ´e o conjunto dos n´umeros complexos (C). 1.6 Diagrama de Venn O chamado diagrama de Venn ´e uma representa¸c˜ao gr´afica de um ou mais conjuntos. Nela, os conjuntos s˜ao representados por ´areas fechadas dentro de um plano. Assim, o conjunto A = {a, b, c, d}, tem como diagrama de Venn qualquer uma das representa¸c˜oes mostradas na figura 1.1: Figura 1.1: Representa¸c˜ao do conjunto A = {a; b; c; d} em termos de sue diagrama de Venn. As duas representa¸c˜oes da figura s˜ao completamente equivalentes. O conjunto universo Ω ´e representado, no geral, pelo interior de um retˆangulo. Assim, o conjunto A, subconjunto do conjunto universo Ω e este pr´oprio, tˆem como representa¸c˜ao o diagrama de Venn mostrado na figura 1.2. 7 Figura 1.2: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto universo Ω e de seu subconjunto A. Vamos fazer o seguinte exemplo para nos ajudar a fixar melhor a representa¸c˜ao de conjuntos em termos de diagramas de Venn. Exemplo: Considere os conjuntos representados na figura 1.3. Figura 1.3: Representa¸c˜ao, em (a), (b) e (c), do diagrama de Venn do conjunto universo Ω e de seus subconjuntos A e B. O que podemos afirmar sobre os conjuntos A e B nas situa¸c˜oes representadas na figura 1.3? Resposta: Na figura 1.3.(a) temos que A ⊆ B. Na figura 1.3.(b) os conjuntos A e B tem alguns elementos em comum. E na figura 1.3.(c) os conjuntos A e B s˜ao disjuntos. 1.7 Operac~oes com conjuntos Agora que revisamos os principais conceitos e defini¸c˜oes relacionados aos conjuntos vamos estudar/relembrar duas das principais opera¸c˜oes entre conjuntos, que s˜ao a uni~ao de conjuntos e a intersecc~ao de conjuntos. As outras opera¸c˜oes entre conjuntos (subtra¸c˜ao, diferen¸ca sim´etrica e complementa¸c˜ao) ficam a cargo do estudante pesquisar e estudar em material complementar. 8 • Uni~ao A primeira opera¸c˜ao que vamos estudar ´e a uni˜ao entre conjuntos. Vamos `a sua defini¸c˜ao. Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A ∪B a uni˜ao dos conjuntos A e B, que ´e o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Ou seja: A ∪ B = {x| x ∈ A ou x ∈ B}. A uni˜ao de dois conjuntos A e B ´e representada, em termos de diagrama de Venn, na figura 1.4. Figura 1.4: Diagrama de Venn do conjunto A ∪ B. Assim, o conjunto A ∪ B ´e representado, no diagrama de Venn, pela ´area de A e de B, incluindo a ´area comum a estes dois conjuntos. A uni˜ao de trˆes conjuntos ser´a indicada por: A ∪ B ∪ C. Generalizando, a uni˜ao dos n conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An ser´a indicada por ∪n k=1 Ak. Ou seja: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An = ∪n k=1 Ak Nos exemplos a seguir ilustramos a realiza¸c˜ao desta opera¸c˜ao entre conjuntos, de forma que o estudante possa compreendˆe-la e execut´a-la nos exerc´ıcios deste cap´ıtulo. 9 Exemplos: 1. Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine o conjunto C = A ∪ B e represente-o em termos de seu diagrama de Venn. Resposta: O conjunto C, dado pela uni˜ao entre os conjuntos A e B ´e o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, incluindo os elementos comuns a A e B. Assim: C = A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} Em termos do diagram de Venn. o conjunto C pode ser representado como na figura 1.5, que est´a logo abaixo. Figura 1.5: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto C = A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. Determine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas de Venn. a) A ∪ B Resposta: O conjunto A ∪ B ´e dado por: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} E seu diagrama de Venn est´a representado na figura 1.6. Figura 1.6: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. 10 b) A ∪ C Resposta: Neste caso temos que C A, portanto: A ∪ C = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} E o diagrama de Venn de A ∪ C est´a representado na figura 1.7. Figura 1.7: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∪ C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} onde C A. c) B ∪ C Resposta: Neste caso temos que: B ∪ C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Os conjuntos B e C s˜ao disjuntos e, portanto, a representa¸c˜ao em diagrama de Venn de B ∪ C ´e a representa¸c˜ao mostrada na figura 1.8. Figura 1.8: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto B ∪ C = {0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} com B e C conjuntos disjuntos. 3. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, ...}, B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, determine: a) A ∪ B. Resposta: O conjunto A∪B, que ´e o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B ´e dado por: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = IN 11 b) B ∪ IN. Resposta: Todos os elementos de B tamb´em s˜ao elementos de IN, assim temos que: B ∪ IN = IN 4. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9} e D = {7, 8, 9, 10}. Determine os conjuntos a seguir: a) A ∪ B. Resposta: O conjunto A ∪ B ´e dado por: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} b) B ∪ C. Resposta: O conjunto B ∪ C ´e o conjunto: B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) A ∪ B ∪ D. Resposta: O conjunto A ∪ B ∪ D ´e o conjunto: A ∪ B ∪ D = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} d) A ∪ B ∪ C ∪ D. Resposta: O conjunto A ∪ B ∪ C ∪ D ´e : A ∪ B ∪ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} • Intersecc~ao A intersec¸c˜ao de conjuntos ´e considerada a opera¸c˜ao inversa da uni˜ao de conjuntos. Vamos `a sua defini¸c˜ao. Dados dois conjuntos A e B, indicaremos por A ∩ B a intersec¸c˜ao entre os conjuntos A e B, que ´e o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ou seja: A ∩ B = {x| x ∈ A e x ∈ B}. Em termos dos diagramas de Venn, a intersec¸c˜ao de dois conjuntos A e B ´e representada pela ´area que pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. A representa¸c˜ao da intersec¸c˜ao dos conjuntos A e B no diagrama de Venn ´e mostrada na figura 1.9. A intersec¸c˜ao de trˆes conjuntos ser´a indicada por: A ∩ B ∩ C. 12 Figura 1.9: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∩ B. Somente a ´area comum a A e a B pertence ao conjunto A ∩ B. Generalizando, a intersec¸c˜ao dos n conjuntos A1,A2,A3, . . . ,An ser´a indicada por: ∩n k=1 Ak. Ou seja, A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · · ∩ An = ∩n k=1 Ak. Como j´a foi dito antes, dois conjuntos s˜ao disjuntos se n˜ao possuem elementos em comum. Assim, a intersec¸c˜ao de dois conjuntos disjuntos ´e vazia. Ou seja, dados os conjuntos A e B, se A ∩ B = ∅ dizemos que A e B s˜ao disjuntos. Vamos aos exemplos a seguir para entendermos melhor a intersec¸c˜ao de conjuntos. Exemplos 1. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. Determine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas de Venn. a) A ∩ B Resposta: O conjunto A ∩ B ´e o conjunto que cont´em todos os elementos que pertencem, simultaneamente, ao conjunto A e ao conjunto B. Assim, o conjunto A ∩ B pode ser escrito como: A ∩ B = {2, 4, 6} Sua representa¸c˜ao em diagrama de Venn est´a mostrada na figura 1.10, onde vemos que o conjunto A ∩ B ´e representado apenas pela ´area comum a A e a B. 13 Figura 1.10: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∩ B = {2; 4; 6}. b) A ∩ C Resposta: Neste caso temos que todos os elementos do conjunto C tamb´em s˜ao elementos do conjunto A, ou seja C A. Assim: A ∩ C = C = {3, 5, 7} O diagrama de Venn de A ∩ C est´a representado na figura 1.11. Figura 1.11: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∩ C = C = {3; 5; 7}, pois C A. c) B ∩ C Resposta: Neste caso, os conjuntos B e C n˜ao tem elementos em comum (s˜ao disjuntos). Portanto: B ∩ C = ∅ Por ser um conjunto sem elementos, o conjunto vazio n˜ao tem uma representa ¸c˜ao pr´opria no diagrama de Venn, onde ele seria um c´ırculo vazio. 14 2. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, ...}, B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, determine: a) A ∩ B. Resposta: O conjunto A ∩ B ´e o conjunto dos elementos que pertencem a A e, ao mesmo tempo, pertencem a B. Como os conjuntos A e B n˜ao tem elementos em comum (A e B s˜ao disjuntos), temos que: A ∩ B = ∅ b) B ∩ IN. Resposta: Todos os elementos de B tamb´em s˜ao elementos de IN (B ´e subconjunto de IN). Desta forma temos que: B ∩ IN = B ⇒ B ⊂ IN H´a outras opera¸c˜oes entre conjuntos (subtra¸c˜ao, diferen¸ca sim´etrica e complementa ¸c˜ao) mas n˜ao vamos relembr´a-las e nem estud´a-las aqui, pois estamos interessados em estudar, especificamente, os conjuntos num´ericos e as opera¸c˜oes entre elementos destes conjuntos e n˜ao entre os conjuntos. Sendo que as opera¸c˜oes de uni˜ao e intersec¸c˜ao de conjuntos foram relembradas pois ser˜ao extremamente ´uteis e necess´arias quando estivermos estudando os dom´ınios e imagens de fun¸c˜oes em geral e, mesmo antes disso, elas ser˜ao necess´arias para podermos expressar alguns intervalos de n´umeros reais em termos da nota¸c˜ao de conjuntos. Ou seja, foi imprescind´ıvel, no contexto deste livro, termos revisado as opera¸c˜oes de uni˜ao e intersec¸c˜ao de conjuntos e, embora existam outras opera¸c˜oes envolvendo conjunto, n˜ao precisamos relembr´a-las em nosso livro. 1.8 Numero de elementos do conjunto uni~ao Dada a uni˜ao entre dois ou mais conjuntos finitos, muitas vezes, mesmo sem conhecermos os elementos de cada conjunto, precisamos saber o n´umero de elementos do conjunto uni˜ao. Para tanto, precisamos definir uma express˜ao matem´atica para calcular o n´umero de elelemtos do conjunto uni˜ao em termos do n´umero de elementos de cada um dos conjuntos individuais e do n´umero de elementos das intersec¸c˜oes entre eles. Vamos primeiro considerar a uni˜ao entre os conjuntos A e B finitos, de forma que ♯A seja o n´umero de elementos do conjunto A, ♯B o n´umero de elementos de B e ♯(A ∩ B) o 15 n´umero de elementos do conjunto A ∩ B. Desta forma, o n´umero de elelemtos de A ∪ B ser´a dado por: ♯(A ∪ B) = ♯A + ♯B − ♯(A ∩ B) onde foi subtra´ıdo o ♯(A ∩ B) pois, por serem os elementos comuns aos conjuntos A e B s˜ao somados duas vezes quando contamos os elementos de A e depois os elementos de B. Analogamente, podemos obter o n´umero de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C, onde A, B e C s˜ao conjuntos finitos, como: ♯(A ∪ B ∪ C) = ♯A + ♯B + ♯C − ♯(A ∩ B) − ♯(A ∩ C) − ♯(B ∩ C) + ♯(A ∩ B ∩ C) Vamos ao exemplo a seguir para fixarmos melhor em nossa mente o conceito acima. Exemplos 1. Se A, B e A ∩ B s˜ao conjuntos com 50, 34 e 12 elementos, respectivamente. Qual o n´umero de elementos do conjunto A ∪ B? Resoluc~ao: Podemos resolver este problema diretamente da express˜ao para o n´umero de elementos do conjunto uni˜ao: ♯(A ∪ B) = ♯A + ♯B − ♯(A ∩ B) = 50 + 34 − 12 = 72 Portanto, o conjunto A ∪ B tem 72 elementos. Tamb´em poder´ıamos ter resolvido este problema a partir de sua representa¸c˜ao no diagrama de Venn. Para ilustrar, vamos resolvˆe-lo tamb´em desta maneira. O diagrama de Venn dos conjuntos A e B que possuem elementos em comum pode ser representado como na figura 1.12.(a). Para preencher o diagrama vamos: (i) come¸car com o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao entre os dois conjuntos, que ´e ♯(A ∩ B) = 12; (ii) em seguida preenchemos o n´umero de elementos restantes do conjunto A que ´e ♯A − ♯(A ∩ B) = 50 − 12 = 38; e, por ´ultimo, (iii) preenchemos o n´umero de elementos restantes do conjunto B, que ´e ♯B −♯(A∩B) = 34−12 = 22. O diagrama de Venn dos conjuntos A e B e os n´umeros de seus respectivos elementos e de sua intersec¸c˜ao, ´e mostrado na figura 1.12.(b), onde, somando-se os n´umeros de elementos qeu aparecem no diagrama temos que ♯(A∪B) = 38+12+22 = 72. Assim, pelo diagrama de Venn temos tamb´em que o conjunto A ∪ B tem 72 elementos. 16 Figura 1.12: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∪ B. Na figura (a) temos a forma do diagrama de Venn dos conjuntos A e B que possuem elementos em comum. E na figura (b) temos o mesmo diagrama, onde foram preenchidos o n´umero de elementos que pertencem somente a A, o n´umero de elementos que pertencem a A∩B e o n´umero de elementos que pertence somente a B. 2. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O n´umero de elementos de A∩B ´e 30, o n´umero de elementos de A∩ C ´e 20 e o n´umero de elementos de A∩B ∩ C ´e 15. Determine o n´umero de elementos de A ∩ (B ∪ C). Resoluc~ao: O diagrama de Venn dos conjuntos A, B e C tem a forma representada na figura 1.13.(a). Na figura 1.13.(b) destacamos a regi˜ao do diagrama correspondente ao conjunto A ∩ (B ∪ C), que ´e a regi˜ao hachurada no diagrama de Venn. Na figura 1.13.(c) temos o mesmo diagrama de Venn preenchido com as informa ¸c˜oes do enunciado, sendo que, para preenchˆe-lo, seguimos os seguintes passos: (i) come¸camos com o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao m´utua entre os trˆes conjuntos, que ´e ♯(A∩B∩C) = 15; (ii) em seguida preenchemos o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao exclusiva entre A e B que ´e ♯(A∩B)−♯(A∩B ∩C) = 30−15 = 15; e (iii) preenchemos o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao exclusiva entre A e C que ´e ♯(A ∩ C) − ♯(A ∩ B ∩ C) = 20 − 15 = 5. Somando, a partir da figura 1.13.(c), o n´umero de elementos da regi˜ao do diagrama que est´a hachurada em 1.13.(b), temos que ♯[A ∩ (B ∪ C)] = 35. 17 Figura 1.13: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn do conjunto A ∪ B ∪ C. Na figura (a) temos a forma do diagrama de Venn dos conjuntos A, B e C que possuem elementos em comum. Na figura (b) temos o mesmo diagrama o mesmo diagrama de Venn onde a regi˜ao hachurada corresponde ao conjunto A ∩ (B ∪ C). E na figura (c) foram preenchidos os n´umeros de elementos em algumas regi˜oes do diagrama de acordo com os dados do enunciado. 1.9 Modelagem de problemas usando teoria de conjuntos Alguns problemas simples de nosso cotidiano podem ser modelados e representados em termos da teoria de conjuntos. Mais especificamente, podemos modelar e resolver alguns problemas usando a representa¸c˜ao em diagram de Venn dos conjuntos, as opera¸c˜oes de uni˜ao e intersec¸c˜ao de conjuntos e o n´umero de elementos em um conjunto que ´e uni˜ao de outros conjuntos. Vamos resolver o exemplo a seguir para ilustrar o procedimento e, ao entender este exemplo, o aluno dever´a estar apto a resolver os problemas contidos na lista de exerc´ıcios deste cap´ıtulo. Exemplo: A lanchonete da Escola de Ciˆencias e Tecnologia fez uma pesquisa com seus consumidores sobre o sabor do suco que eles preferem tomar. Na pesquisa foi constatado que, dos consumidores entrevistados, 582 tomam suco de laranja, 498 tomam suco de manga e 452 tomam suco de caj´a. Constatou-se tamb´em que 1102 preferem n˜ao tomar suco, que 135 tomam os sucos de laranja e de manga, que 123 tomam suco de laranja e de caj´a, que 201 tomam suco de manga e de caj´a e que 48 entrevistados tomam os trˆes sabores de suco. Considerando os resultados da pesquisa, determine: 18 a) o diagrama de Venn que representa o conjunto de consumidores entrevistados pela pesquisa e suas preferˆencias; Resoluc~ao: O diagrama de Venn que representa os conjuntos L, M e C do exemplo tem a forma mostrada na figura 1.14.(a), onde L ´e o conjunto dos entrevistados que tomam suco de laranja, M ´e o conjunto dos entrevistados que tomam suco de manga e C ´e o conjunto dos entrevistados que tomam suco de caj´a. Figura 1.14: Representa¸c˜ao em diagrama de Venn dos conjuntos L, M e C. Em (a) temos os conjuntos e suas partes dentro do quadrado que representa o conjunto universo do problema; e em (b) temos o mesmo diagrama de Venn mas com o n´umero de elementos em cada parte do diagrama j´a preenchido. Para preencher o diagrama da figura 1.14.(a) e obtermos o diagrama de Venn da figura 1.14.(b) vamos: (i) come¸car com o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao m´utua entre os trˆes conjuntos, que ´e ♯(L ∩ M ∩ C) = 48; (ii) em seguida preenchemos o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao exclusiva entre o conjunto L e o conjunto M, que ´e ♯(L ∩ M) − ♯(L ∩ M ∩ C) = 135 − 48 = 87; (iii) preenchemos o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao exclusiva entre o conjunto L e o conjunto C, que ´e ♯(L ∩ C) − ♯(L ∩ M ∩ C) = 123 − 48 = 75; (iv) preenchemos o n´umero de elementos da intersec¸c˜ao exclusiva entre o conjunto M e o conjunto C, que ´e ♯(M ∩ C) − ♯(L ∩ M ∩ C) = 201 − 48 = 153; (v) preenchemos o n´umero de elementos da ´area restante do conjunto L, que que ´e o n´umero de consumidores que s´o toma suco de laranja e vale o n´umero total de consumidores que toma suco de laranja menos os consumidores que tomam, tamb´em, algum outro suco (582−48−87−75 = 372); e (vi) preenchemos, de maneira an´aloga, o n´umero de elementos da ´area restante de M e de C. Assim, na figura 1.14.(b) temos o diagrama de Venn do problema totalmente preenchido a partir dos dados da pesquisa. E, a partir dele, podemos responder as perguntas dos pr´oximos itens de nosso exemplo. 19 b) o n´umero de consumidores consultados na pesquisa; Resoluc~ao: O n´umero de consumidores consultados, que ´e o n´umero de elementos do conjunto universo mostrado na figura 1.14.(b) ´e a soma dos elementos de todas as regi˜oes do diagrama de Venn. Ou seja, na pesquisa foram consultados 2223 consumidores. c) o n´umero de consumidores que tomam suco; Resoluc~ao: O n´umero de consumidores que tomam suco ´e o n´umero total de consumidores menos o n´umero de pessoas que n˜ao tomam suco. Assim: Ns = 2223 − 1102 = 1121 consumidores. d) o n´umero de consumidores que tomam suco ou s´o de caj´a ou s´o de manga; Resoluc~ao: Pelo diagrama de Venn, vemos que o n´umero de consumidores que tomam suco somente de caj´a ´e 176 e o n´umero de consumidores que tomam suco somente de manga ´e igual a 210, portanto, o n´umero de consumidores quetomam suco ou s´o de caj´a ou s´o de manga ´e igual a 386. Para que o estudante possa verificar e relembrar o seu aprendizado referente a essas no¸c˜oes iniciais de conjuntos, ele deve refazer todos os exemplos do cap´ıtulo que acabamos de finalizar e, em seguida, fazer os exerc´ıcios da lista a seguir. 1.10 Exerccios 1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sente¸cas a seguir: a) ( ) {1} ∈ {1} b) ( ) {1} ⊆ {1} c) ( ) 1 ∈ {1} d) ( ) ∅ ∈ {1} e) ( ) ∅ ⊆ {1} 2. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 2, 3} e C = {0, 1, 2, 3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirma¸c˜ao abaixo. a) ( ) A ⊂ B b) ( ) {1} ⊂ A c) ( ) A ⊂ C 20 d) ( ) B ⊃ C e) ( ) B ⊂ C f) ( ) {0, 2} ∈ B 3. Se A ⊂ B ⊂ C e x /∈ B, ent˜ao, necessariamente: a) ( ) x /∈ C b) ( ) x ∈ A c) ( ) x ∈ C d) ( ) x /∈ A e) ( ) x ∈ A ou x ∈ C 4. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20}, determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A ∩ C d) A ∪ C e) B ∪ C f) A ∩ B ∩ C g) A ∪ B ∪ C h) A ∩ (B ∪ C) i) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C) 5. Dados os conjuntos abaixo: A = {1, 3, 4, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {1, 3}, podemos fazer as seguintes afirma¸c˜oes sobre eles: i) C ⊆ A; ii) C ⊆ B; iii) B * A; e iv) A * B. Usando as no¸c˜oes de subconjuntos, podemos fazer outras afirma¸c˜oes sobre os conjuntos A, B e C? Quais? 6. Se A, B e A ∩ B s˜ao conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, qual o n´umero de elementos do conjunto A ∪ B? 7. Sabendo-se que {a, b, c, d}∪X = {a, b, c, d, e}, {c, d}∪X = {a, c, d, e} e {b, c, d}∩X = {c}, determine o conjunto X? 8. Sejam ♯A = 2, ♯B = 3 e ♯C = 4, ent˜ao ´e verdadeiro que: 21 a) ♯(A ∩ B) ≤ 1 b) ♯(A ∪ C) ≤ 5 c) ♯((A ∩ B) ∩ C) ≤ 2 d) ♯((A ∪ C) ∩ C) ≤ 2 e) ♯(A ∩ ∅) ≥ 2 9. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O n´umero de elementos de B ∩C ´e 45; o n´umero de elementos de A∩C ´e 40 e o n´umero de elementos de A∩B ∩C ´e 25. Determinar o n´umero de C ∩ (A ∪ B). 10. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respondessem sim ou n˜ao: vocˆe gosta de dan¸car? vocˆe pratica algum esporte? Responderam sim `a primeira pergunta 136 jovens; 92 responderam sim `a segunda pergunta; 48 responderam sim a ambas; e 30 n˜ao a ambas. Qual o total de jovens entrevistados? 11. Em uma academia que tem 380 alunos, 212 praticam corrida, 170 praticam spinning e 76 praticam ambos. Quantos alunos spinning ou corrida? Quantos alunos n˜ao praticam nenhuma das duas? 12. Fez-se uma pesquisa com os frequentadores de um cinema sobre os estilos de filmes favoritos entre a¸c˜ao, com´edia e romance. Na tabela abaixo s˜ao mostrados os resultados da pesquisa em rela¸c˜ao ao p´ublico consultado. Estilos No frequentadores A¸c˜ao 1120 Com´edia 1708 Romance 1480 A¸c˜ao e Com´edia 386 A¸c˜ao e Romance 272 Com´edia e Romance 450 A¸c˜ao, Com´edia e Romance 112 Nenhum 58 Determine o n´umero de pessoas: a) consultadas; 22 b) que n˜ao preferem a¸c˜ao ou romance; c) que tem preferˆencia por pelo menos dois estilos; d) que tem preferˆencia por a¸c˜ao e com´edia mas n˜ao por romance; e) que tem preferˆencia apenas por romance. ∗ ∗ ∗ 23 Captulo 2 Revis~ao Elementar: Conjuntos Num
Posted on: Fri, 30 Aug 2013 02:52:57 +0000
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