EL PROBLEMA DE LOS INFINITÉSIMOS. PARADOJAS DE ZENÓN El problema de los infinitésimos es el problema de lo infinitamente pequeño, o sea es otra versión del infinito. Zenón de Elea, posiblemente el discípulo predilecto de Parménides, inauguro su tratamiento sin saberlo cuando intento hacer la apología de su maestro creando a través de experimentos mentales una serie de cuatro paradojas, con los cuales supuestamente se demostrarían el absurdo de la idea de cambio y movimiento. Este modo de plantear el problema, fue un ejemplo del ejercicio de la dialéctica (reconocido como el precursor de la Dialéctica por el mismo Platón) además de utilizar magistralmente el método del absurdo para demostrar la validez de un argumento contrario. Estoy en un completo acuerdo con Bertrand Rusell al sostener que este filósofo no fue un sofista (eso sería degradarlo injustamente), por el contrario, sus argumentaciones no eran meros artilugios del lenguaje sino construcciones inconmensurablemente ingeniosas y sutiles que pusieron al descubierto problemas esenciales en la concepción del infinito, la continuidad, el espacio y el tiempo. Parménides había postulado un tipo de Ser absolutamente opuesto al de Heráclito, un Ser estático, eterno, perfecto, infinito, necesario que daba el ser a los entes contingentes, inalterable, omnipresente, único, accesible solo parcialmente por medio de la razón, etc. Entonces el movimiento, la pluralidad y el cambio debían ser solamente falsas percepciones de los sentidos, engaños del mundo sensible puesto que no participaban del Ser. Para demostrar esta postura Zenón planteo cuatro paradojas, o sea situaciones donde se contradicen la experiencia de la realidad con la razón. Estas cuatro situaciones contradictorias se plantean con ejemplos imaginativos de mucho poder de persuasión en contra del movimiento, a saber: 1) No puede haber movimiento porque significa recorrer una trayectoria, y la trayectoria puede ser dividida en infinitas partes, por lo cual se infiere que deberá ocupar infinitas posiciones y por ser infinito las partes y de velocidad finita para recorrer cada una de ellas, como su definición lo dice nunca terminaría de hacerlo (no se puede llegar al fin de lo que no tiene fin). Según traducción de M. Noel, en sus palabras afirma:”no existe movimiento porque todo lo que se mueve debe alcanzar la mitad de su curso antes de llegar al final” O sea que todo intervalo tiene un punto medio, y entre este y el final se define otro intervalo que también lo tiene y siempre será posible hallar alguno entre dos puntos, por lo que siempre estará en un punto medio de alguno de los infinitos intervalos que se genera y nunca llegara al final. Esto es consecuencia directa del teorema matemático que afirma que entre dos racionales siempre hay otro, en este caso el punto medio, por lo tanto entre los extremos de un segmento habrá infinitos segmentos encasillados unos con otros compartiendo el extremo final. 2) En una hipotética carrera entre el más veloz de los veloces, Aquiles, y uno de lo más lento entre los animales terrestres, la tortuga, si el segundo parte con una ventaja posicional, el primero por mas rápido que se mueva no podrá alcanzar al segundo Como hay una ventaja entre Aquiles y la tortuga, cada vez que avanza el héroe de la IIíada para ocupar las posiciones de la tortuga, esta que no está en reposo se aleja un poco más, y como el tiempo se puede subdividir infinitamente, haciendo cada vez más pequeños los intervalos temporales tendremos que “el corredor por sus pies” en palabras de Homero siempre ocupara puntos detrás de la posición de la tortuga. 3) Una flecha que es disparada esta en reposo, porque estar en un lugar significa ocupar ese punto, y ser en ese punto, por lo tanto estar en él quieto. Y como hay infinitas posiciones en una trayectoria, la saeta no se mueve. 4) Dos cuerpos que se mueven en sentidos contrarios lo hacen con una velocidad respecto a los cuerpos que están en reposo, pero cuando se cruzan entre si lo hacen con velocidades distintas. Visto de este modo y ateniéndonos a que no se han cometido razonamientos incorrectos en las cuatro aporías se podría interpretar que Parménides tenía razón, el movimiento es irracional y si nos atenemos al principio de identidad entre pensar y ser, postulado por el mismo, o sea todo lo que es, es porque es posible serlo y solo es posible cuando se lo puede pensar en forma lógica. Como esto no ocurre con el movimiento de acuerdo al planteo del eleata, ergo el movimiento es un imposible y en consecuencia no existe. Al margen de que sea verdadero este principio de identidad entre el ser y el pensar procederemos a refutar cada una de las paradojas desde la racionalidad. Sin embargo es necesario agregar que el principio de identidad entre Ser y pensar merece una aclaración subsidiaria. Todo lo que se piensa de hecho “es” un ente en sí mismo, no necesariamente como cosa material o externa al pensamiento sino como pensamiento, porque no se puede negar que el pensamiento en general ya es algo existente como tal. El problema radica en suponer gratuitamente que porque existe como idea, deba existir indefectiblemente como fenómeno o ente extramental. Esto último ya es una extrapolación injustificada. Refutación De La Primera Paradoja: La cuestión es dilucidar en primer lugar que pasa con el tiempo, porque si el móvil ocupa los puntos medios sucesivos de los intervalos cada vez más pequeños que quedan entre el extremo final y cada uno de los extremos que va recorriendo implica que el tiempo sucesivo que le lleva hacerlo es cada vez más reducido (exactamente igual a la mitad), moviéndose a velocidad constante. El tiempo al igual que los espacios recorridos tienden a cero, o sea que se van transformando en infinitésimos. Por lo tanto la suma de las amplitudes de los intervalos temporales constituye una serie de términos en progresión geométrica de razón igual a ½. Ahora, si se trata de una serie geométrica de este tipo el tiempo total que le llevara para hacer todo el recorrido será: (∆t) total = lim Σ (∆t). (1/2)i = (∆t). Σ (1/2)i de donde cada termina es la mitad del anterior. Se puede demostrar que la sumatoria es convergente y converge precisamente a 2. Por consiguiente como ∆t es la mitad del tiempo que le llevaría al rezagado recorrer toda la distancia de separación entre ambos corredores sin subdividir el tiempo por ser el primero de los intervalos, nos da como tiempo total el tiempo que se prevé sin considerar las infinitas subdivisiones del tiempo. Es decir que partiendo de la hipótesis de Zenón, solo en una incorrecta deducción se puede concluir de que por la suma de infinitos intervalos de tiempo siempre se arriba a una duración también infinita. Por el contrario, aplicando el cálculo de límite de series infinitas se arriba a lo que se ve en la experiencia, a una amplitud finita de tiempo para que Aquiles alcance a la tortuga. Por ende el movimiento es posible. Esto se basa en la idea de la existencia de límite de series infinitas que son convergentes como en este caso. Vale decir que en el límite con n tendiendo a infinito los intervalos tienden a cero (infinitésimos) y su contribución a la sumatoria esta acotada. De esta manera el límite actúa como una cota o frontera inexpugnable cuyo valor no se puede pasar con el proceso acumulativo de la adición. Pero si esto no lo aceptamos haciendo caso a las objeciones del Obispo Berkeley al análisis infinitesimal clásico y nos encuadramos en el cálculo infinitesimal- no Standard, nos encontraremos con una cuestión de naturaleza física a considerar, se debe dilucidar si el tiempo y el espacio están cuantificados o no, porque en caso de una respuesta afirmativa la subdivisión de ambas magnitudes tendría un límite dado posiblemente por el principio de incertidumbre de Heisemberg. Este límite de lo pequeño del espacio o del tiempo puede darnos en correspondencia debido al mencionado principio un límite de lo grande que puede ser el total de la cantidad de movimiento del universo o su energía y viceversa. Por lo tanto las implicaciones del análisis de las aporías de Zenón son increíblemente cruciales en la concepción física del cosmos. Cabe mencionar que también está la demostración lógica esgrimida por Bertrand Rusell en el sentido de que se trata de una regresión admisible, o sea de un caso de intervalos reales encajados unos en otros y se encuadra en una regresión innocua. Vale decir de que es una relación de proposiciones generando otra que no necesita una enumeración de cada uno de sus términos (en este caso definir la duración de cada uno de los infinitos intervalos que lo componen para definir la duración de todo el intervalo del movimiento donde se alcanza a la tortuga) para arribar a una definición del intervalo total. Por eso pierde su efecto nocivo la enumeración de particiones que hace Zenón. Refutación De La Segunda Paradoja: En definitiva en este tópico, en el mejor de los casos para Zenón, solo podría tener razón si se puede probar que en un movimiento, con las posiciones sucesivas de un móvil se puede establecer una relación biunívoca con el conjunto de los reales, lo cual hemos dicho que entre conjuntos infinitos es por lo general, salvo honrosas excepciones, imposible. Y en el caso de que el tiempo y el espacio estén cuantificados directamente es imposible. O sea que se debe establecer si el movimiento es continuo, denso o discreto, en analogía a los conjuntos numéricos que se pueden representar por puntos. Es decir si al movernos sobre una trayectoria dada el móvil ocupa todos y cada uno de los puntos de la línea continua de números reales que supuestamente es la trayectoria o lo hace a “zancadas” salteando algunos puntos matemáticos. En caso de ocurrir esto último pierde sentido el presupuesto de Zenón, el que sostiene que Aquiles deberá ocupar los puntos que ocupo la tortuga, en consecuencia deja de estar obligado a permanecer por detrás. En otras palabras para un mismo recorrido integral puede haber diferentes valores puntuales de posición en ambos corredores. Lo que sabemos es que la trayectoria de una partícula física es en realidad un promedio de movimientos aleatorios alrededor de una curva teórica que es la que representamos, y si nos remitimos a un cuerpo formado por millones de partículas se trata de los promedios de los promedios teóricos de las millones de partículas. Todo lo cual hace improcedente la idea de que un cuerpo pueda ocupar los mismos puntos que otro que le antecede en un movimiento. Esto fue demostrado por el cuarto argumento (refutación a Bertrand Russell) en contra de la definición de Cantor respecto a conjuntos trans -finitos. Refutación de la Tercera Paradoja: Esta aporía se basa en la definición de reposo, aplicado a modo de ejemplo a una flecha. Este estado según Zenón corresponde al de un cuerpo que ocupa un espacio igual a su longitud o tamaño en un momento determinado. Esta definición en si es una falacia, porque enunciar que un cuerpo ocupa en un instante dado un espacio igual a su tamaño constituye una tautológica de la cual no puede inferirse ninguna conclusión nueva tal como que está en reposo propiamente dicho o se está desplazando. La definición de tamaño es que se trata de un espacio que ocupa un cuerpo sin que sobre nada del cuerpo y sin que sobre espacio. Obviamente no sirve para dilucidar si un cuerpo está en reposo propiamente dicho o en movimiento. Precisamente, si uno quiere, el movimiento se podría definir como una sucesión de estados de reposo en el tiempo, y no debería surgir ningún conflicto en ello. Solo habría que distinguir aquellos estados donde el estado de reposo se refiere a un mismo espacio en distintos tiempos sucesivos (estado de reposo propiamente dicho) o estados de “reposo” ocupando espacios distintos en tiempos sucesivos (estado de movimiento). En consecuencia no se produce ninguna dicotomía entre la idea de movimiento y la realidad. Refutación De La Cuarta Paradoja: Este se dio en llamar el de la medida. Ataca fundamentalmente la teoría del continuo desde un punto de vista, según Bertrand Rusell, pero sobre todo creo yo, revela la ignorancia que se tenia del relativismo Galileano, ya ni decir del Einsteniano. Es decir independientemente del problema de contraponer lo discreto y lo continuo, más bien presupone que la velocidad debe ser la misma en todos los sistemas de referencia, por eso toma como un absurdo que hubiera un valor de velocidad respecto a los puntos en reposo que rodean a las dos flechas y otro, precisamente entre ellas. Hoy día se “sabe” que esta magnitud es relativa al sistema de referencia por eso puede admitir los dos valores sin ninguna objeción, ergo me exime de mayores explicaciones sobre el tema. Conclusión: Al plantear como una persecución, Zenón circunscribió todo el movimiento al tiempo en alcanzar / distancia en que tarda/separa a Aquiles y la tortuga, subdividiendo al mismo en intervalos progresivamente cada vez más pequeños. Así planteado era inevitable que no lo alcance y en realidad lo que en todo caso se demuestra es que entre intervalos de longitud finita de tiempo/espacio se pueden generar infinitos sub. -intervalos gracias a la continuidad de los números reales. LA PARADOJA DE LA PARADOJA DE ZENÓN. La paradoja de Zenón genera otra paradoja como un reflejo de sí misma. Si es verdad que el movimiento es aparente y no transcurre el tiempo, y todo es inalterable ¿cómo se puede generar la ilusión de movimiento? ¿Acaso en un mundo de absoluto reposo se puede generar apariencia de algo distinto al reposo si no hay nada que cambie? Lo quieto no puede aparentar moverse porque en el intento de aparentar tendría que mutarse, lo que supondría algún tipo de movimiento y eso le esta negado por su definición misma, es como pretender que una fotografía que permanece quieta ante un espectador en absoluto reposo se muestre como una película animada de movimiento. Por otro lado la misma sensación implica un cambio al menos en el que siente, por lo que Zenón no podía negar el movimiento afirmando el movimiento de conocer, o sea la variabilidad en el cognoscente. En resumen en una existencia basada en el Ser de Parménides, donde el Ser es absolutamente estático, los entes permanecerían incomunicados, no habría percepción y no podría existir la ilusión del movimiento ni del cambio y resultaría lo más parecido a la nada. Queda entonces que la postura de Zenón y Parménides es absurda, la falsa apariencia que defendían como argumento, es movimiento y variación en sí misma, por lo que se cae en una fragante contradicción con la hipótesis. Fue el presupuesto del Ser inalterable de Parménides lo que hizo recaer inevitablemente en la tesis de que el movimiento es solo una ilusión. Y como lo vimos esto parece imposible. Sin embargo podrían caber dos soluciones posibles, una pseudo solución y otra solución verdadera. La pseudo- solución para un universo en reposo absoluto seria que la conciencia viajara a través del tiempo y el espacio (desde los escenarios del pasado hacia los escenarios del futuro, como cuando se pasan los fotogramas de una película y sentimos la sensación del movimiento), pero sería una solución que admite por lo menos el movimiento de la conciencia, por lo que se incurriría en una contradicción hablar de absoluto reposo. Además seria enteramente equivalente a un Universo en movimiento, por lo tanto es trivial además de in-comprobable y como se dijo seguiría implicando por lo menos un movimiento, el de la conciencia. La solución posible como verdadera en el sentido planteado por Zenón, pero también in - comprobable es semejante a la anterior, pero sin considerar a los eventos como fotos que se apagan o se encienden debido a un recorrido de la conciencia, sino como si cada instante fuera una foto permanentemente encendida. La existencia consistiría en infinitos instantes eternos y estáticos de universos que contienen la memoria de todos sus supuestos respectivos pasados, tal como si hubiesen ocurrido. En este caso no transcurriría el tiempo pero si tendríamos la sensación de su transcurso debido a la memoria mencionada. No habría modo de diferenciarlo con un universo donde existe el movimiento porque lo único certero de la existencia del pasado es que existe como memoria. El futuro quedaría como posible proyección del presente siguiendo la tendencia que nos marca la memoria. En conclusión, puede ser que solo existan especies de fotos estáticas (instantes), que percibimos como presentes, en cada uno de los cuales existe la sensación del transcurso del tiempo solo en base a la memoria que se tiene del supuesto pasado en cada uno. Sería lo más próximo a la idea de Nietzsche, de la eternidad de cada instante.” Por un lado queda entonces que la postura de Parménides y Zenón puede ser absurda, la falsa apariencia que defendían como argumento, es en realidad movimiento y variación en sí misma, o bien se debería aceptar la idea de los fotogramas permanentemente encendidos a los cuales podríamos llamar instantes eternos. Lo que si es evidente es que su postura fue de una metafísica que se opone rotundamente a la interpretación clásica de la realidad que nos informan los sentidos, o sea de que el tiempo transcurre.
Posted on: Tue, 27 Aug 2013 19:16:06 +0000