ERRO PADRÃO DA MÉDIA (EPM) e TESTE Z 1 - CONCEITO DE EPM Se retiramos um número de amostras aleatórias de mesmo tamanho de uma população, não devemos esperar que todas as médias amostrais sejam iguais. Figura 1: Amostras selecionadas de uma população. Na verdade o que encontamos é uma distribuição destas médias amostrais, e intuitivamente acreditamos que o centro desta distribuição está próximo da média real da população. Fígura 2 Distribuição das médias amostrais para diferentes n Exemplo 1: Frequência Cardíaca da população: 67 67 68 68 68 69 69 69 69 69 70 70 70 70 71 71 72 72 73 74 Cinco amostras aleatórias da população (cada amostra com n=3) Num. da Amostra Dados Amostrais 1 68, 69, 71 69.33 2 68, 70, 72 70.00 3 67, 70, 73 70.00 4 67, 69, 69 68.33 5 68, 69, 70 69.00 A média das médias é igual a: O desvio padrão das médias é igual a: Neste caso são as respectivas médias amostrais e é a média 69.33. Substitundo na equação acima teremos: 0.7088 é uma medida de dispersão entre as cinco médias amostrais, e este é um método empírico para definição de ERRO PADRÃO DA MÉDIA (EPM). 2 - ESTIMATIVA DO EPM COM APENAS UMA AMOSTRA. Pela figura 2 notamos que: Existe uma relação inversa entre o tamanho da amostra e o EPM Tamanho da amostra aumenta Õ EPM diminui Expressamos matematicamente esta afirmação da seguinte forma: OU Onde: s = Desvio padrão da amostra (não conhecemos o desvio da população) = Desvio padrão da população n = Tamanho da amostra 3 - TESTE Z DE UMA AMOSTRA Parâmetros da população são conhecidos (desvio padrão e média). Testa H0: Onde: Exemplo 2: Usamos o exemplo de Frequência Cardíaca. Vamos supor que estamos receitando um medicamento vasodilatador (Nifedipina) para Hipertensão Arterial. Suspeitamos que ele esteja aumentando a frequência cardíaca dos pacientes. Para testar esta hipótese colhemos uma amostra aleatória de 50 pacientes recebendo Nifedipina e medimos a frequência cardíaca. Teremos então: Parâmetros da População com F.C. Normal Resultados da amostra com n= 50 pacientes =69.80 Média =70.5 =1.86 Erro padrão da média = Formulamos as Hipóteses H0 : H1 : Calculamos Z: Duas formas de resolver o problema: 1 - Achar a probabilidade diretamente (achar p): Pergunta: Qual a chance de se obter uma f.c. maior ou igual 70.5? Pela tabela Z, a área à direita de 2.69 vale 0.0036 então p = 0.0036. Portanto existe uma chance de 0.6% de que seja obtida uma média maior do que 70.5 ao acaso, quando são retiradas amostras aleatórias de tamanho 50 desta população. Como a chance é muito pequena p < 0.5, rejeito H0 e aceito H1. Concluo que a nifedipina aumentou significativamente a frequência cardíaca. Figura 3: Distribuição das médias amostrais de frequências cardíacas. 2 - Fixar Z crítico. Procuro na tabela o valor de Z que corresponde ao nível de significância de 5% (probabilidade de cometer erro tipo 1 ou alfa = 0.05) Teste Monocaudal a Direita. Zcrítico = 1.64, Z encontrado= 2.69. Z encontrado > Zcrítico então rejeito H0 e aceito H1. 4 - TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Se tomarmos grandes amostras (n > 30) de uma população, as médias amostrais terão distribuição normal mesmo que os dados originais não tenham distribuição normal. Veja figura 4. Figura 4: Ilustração gráfica do Teorema do Limite Central 5 - ESTIMATIVA DE EPM PARA DUAS AMOSTRAS. DESVIO PADRÃO DAS DIFERENÇAS OU ERRO PADRÃO DAS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS (EPMD). DISTRIBUIÇÃO DAS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS AMOSTRAIS A figura 5 ilustra a retirada de amostras de duas populações e o cálculo das respectivas médias amostrais. Figura 5: Retirada de amostras de duas populações diferentes. Cálculo das médias e das diferenças entre médias. As diferenças entre as médias amostrais têm distribuição normal, e portanto podemos calcular o desvio padrão destas diferenças. O desvio padrão das diferenças entre médias é denominado DESVIO PADRÃO DAS DIFERENÇAS ou ERRO PADRÃO DAS DIFERENÇAS ENTRE MÉDIAS (EPMD). O cálculo do EPMD está apresentado na tabela 1 abaixo: conhecidos desconhecidos Tabela 1: Fórmulas para calcular o EPMD Veja que existe um novo termo S0, desvio padrão conjugado. Nas situações em que o desvio padrão da população não é conhecido, e os desvios padrões amostrais não são significativamente diferentes, usamos o desvio padrão conjugado, onde: Repare que se n1 = n2: O procedimento para determinar se os desvios padrões amostrais são diferentes será apresentado posteriormente. Exemplo 3: Em um ensaio clínico comparou-se dois anorexígenos e as perdas de peso foram registradas. Calcule o desvio padrão conjugado e o EPMD. Paciente Droga 1 Paciente Droga 2 1 0.9 7 3.8 2 1.3 8 4.9 3 1.5 9 5.9 4 2.4 10 6.6 5 2.9 11 6.7 6 3.0 12 7.1 13 7.0 Consideramos, por enquanto, que s1 e s2 são similares então: Supondo o desvio padrão das populações desconhecido, teremos: 6 - TESTE Z DE DUAS AMOSTRAS Testa H0: 1= 2 quando 2 é conhecido. Figura 6: Representação Gráfica da Distribuição Z. Pares de amostras Distribuição das diferenças: Onde : E: EPMD SE EPMD = SE Exemplo 4: Teste de Eficiência de uma droga hipnótica. GRUPO 1 (PLACEBO) GRUPO 2 (AGENTE ATIVO) - Média horas sono 8.5 10.1 - d.p.da população 2.0 2.0 n - tamanho da amostra 36 36 EPM - Erro Padrão Média 0.333 0.333 Queremos testar a hipótese da diferença entre os grupos. Formulando as Hipóteses: H0: 1 = 2 H1: 1 2 = -1.6 horas Como os desvios são iguais, então calculamos o EPMD da seguinte forma: Estatística Z: Figura 7: Distribuição das diferenças entre as médias amostrais. Podemos usar qualquer uma das duas formas que aprendemos para chegar a uma conclusão: 1 - Achar p diretamente. Pela tabela Z, achamos que a área à esquerda de -3.39 somada com a área à direita de 3.39 = 0.0006. Portanto p = 0.0006. Existe 0.06% de chance de que 1.6hs de diferença entre os grupos ocorra por acaso. Como p < 0.05 Rejeitamos H0 e aceitamos H1. Concluímos que as médias dos grupos são significativamente diferentes. 2 - Fixando Z crítico. Procuro na tabela o valor de Z que corresponde ao nível de significância de 5% (probabilidade de cometer erro tipo 1 ou alfa = 0.05). Teste Bicaudal (Bilateral) Zcrítico = 1.96 Z encontrado = -3.39 Z encontrado > Zcrítico, então rejeito H0 e aceito H1.
Posted on: Thu, 14 Nov 2013 21:24:57 +0000
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