I- Méthodes détudes des circuits électriques linéaires en courant continu Lobjectif est de définir un ensemble de méthodes permettant létude de réseaux électriques traversés par des courants continus. I-1 Lois de Kirchhoff Lorsquun circuit électrique contient plus dune maille (une maille est un contour fermé) et que lon cherche les intensités dans chacune des branches (une branche et un ensemble de dipôles contenus entre 2 nœuds), la loi dOhm est insuffisante, il faut utiliser une autre méthode. La méthode de Kirchhoff permet de solutionner le problème et de définir les courants dans chacune des branches du circuit. Cette méthode utilise deux lois que nous allons définir. Exemple de circuit I-1-1 Loi des noeuds Un nœud est une connexion qui relie au moins trois dipôles. Le circuit représenté contient deux noeuds. La loi des noeuds dit que: la somme algébrique des courants qui arrivent et partent dun nœud est nulle (pas daccumulation délectricité). Si on compte comme positif un courant qui arrive au nœud: I1 – ( I2 + I3 ) = 0 Définition dun noeud I-1-2 Loi des mailles Une maille est un parcours fermé sur le circuit . Ce circuit possède 2 noeuds (A et B) et 3 mailles : B, E1 , R1 , A, R3 , B : maille 1 B, R3 , A, R2 , E2 , B : maille 2 B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B : maille 3 La loi des mailles dit que: La somme algébrique des tensions rencontrées dans une maille est nulle. On part et on arrive en un point de même potentiel. Le circuit et ses mailles Comment applique-t-on la loi ? Considérons la maille 1. Au départ, le sens des f.é.m. est connu mais pas celui des courants. On leur en affecte un à priori et on flèche les tensions aux bornes des résistances (en considérant la convention récepteur). On choisit arbitrairement : • un point de départ de la maille (point B) • et un sens de parcours (B, E1 , R1 , A, R3 , B) • On affecte du signe + la tension dont la flèche va dans le sens du parcours de la maille et du signe – la tension dont la flèche va dans le sens contraire. • La loi des mailles donne : E 1 – UR1 – UR3 = 0 Remarque : si le calcul des courant donne une valeur positive cest que le sens choisi est le bon, dans le cas contraire le courant réel est de sens opposé à celui choisi au départ. Exemple : pour le circuit complet considéré, appliquons la loi des mailles à la maille 3 (B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B) On choisit arbitrairement : • le point B comme point de départ de la maille • le sens de parcours (B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B) • On affecte du signe + la tension dont la flèche va dans le sens du parcours et du signe – la tension dont la flèche va dans le sens contraire • La loi des mailles donne : E1 – UR1 – UR2 – E2 = 0 Application de la loi à la maille 1 Application de la loi à la maille 3 I - 1- 3 Méthode de Kirchhoff Donnons la méthode pour le cas général dun circuit électrique qui contient N nœuds (exemple:N= 4) et B branches (B=6) comme dans le circuit ci-contre. Le problème consiste à trouver les intensités dans chacune des branches (I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 ). Il y a B inconnues (B=6). Principe de la méthode : • On écrit la loi des nœuds en (N - 1) nœuds (ici N -1 = 3). Le nombre dinconnues est alors B - (N - 1) = 6 - 3 • On écrit la loi des mailles en B - (N - 1) mailles (soit 3 mailles ici) • Le système obtenu contient alors autant déquations que dinconnues. Sa résolution donne la solution unique recherchée. Méthode générale de Kirchhoff Exemple dapplication : On considère ce circuit c-contre pour lequel on donne : E1 = 110V, R1 = 0.5 W E2 = 105V, R2 = 0.25 W E3 = 90V, R3 = 0.5 W Pour calculer les courants I1 , I2 et I3, on leur choisit un sens, ce qui permet de flécher les tensions aux bornes des résistances. Le circuit ayant deux noeuds, il ny a qune équation de noeuds, en A par exemple: I1 + I2 = I3 équation (1) Il y a 3 mailles, donc on choisit 2 mailles indépendantes afin de compléter le système à résoudre : Maille 1 : A, R1 , E1 , B, E2 , R2 , A , avec le sens de parcours indiqué R1 .I1 - E1 + E2 - R2 .I2 = 0 équation (2) Maille 2 : A, R2 , E2 , B, E3 , R3 , A avec le sens de parcours indiqué R2 .I2 – E2 + E3 + R3 .I3 = 0 équation (3) Résolution: On reprend léquation (2) puis léquation (3) où lon a remplacé I3 par (I1 +I2 ). On obtient le système : R1 .I1 – R2 .I2 = E1 – E2 R3 .I1 + (R2 +R3 ).I2 = E2 – E3 On remplaçant par les valeurs numériques, on a : 0.5*I1 – 0.25*I2 = 5 0.5*I1 + 0.75*I2 = 15 La résolution de ce système donne : I1 = 15A ; I2 = 10A et I3 = I1 + I2 = 25A On remarque que toutes les valeurs sont positives ce qui signifie que les sens arbitrairement choisis des courants correspondent aux sens réels de ceux-ci.. Lois Physiques : CIRCUITS ELECTRIQUES LINÉAIRES I- Méthodes détudes des circuits électriques linéaires en courant continu 3 / 7 I- Méthodes détudes des circuits électriques linéaires en courant continu Lobjectif est de définir un ensemble de méthodes permettant létude de réseaux électriques traversés par des courants continus. I-1 Lois de Kirchhoff Lorsquun circuit électrique contient plus dune maille (une maille est un contour fermé) et que lon cherche les intensités dans chacune des branches (une branche et un ensemble de dipôles contenus entre 2 nœuds), la loi dOhm est insuffisante, il faut utiliser une autre méthode. La méthode de Kirchhoff permet de solutionner le problème et de définir les courants dans chacune des branches du circuit. Cette méthode utilise deux lois que nous allons définir. Exemple de circuit I-1-1 Loi des noeuds Un nœud est une connexion qui relie au moins trois dipôles. Le circuit représenté contient deux noeuds. La loi des noeuds dit que: la somme algébrique des courants qui arrivent et partent dun nœud est nulle (pas daccumulation délectricité). Si on compte comme positif un courant qui arrive au nœud: I1 – ( I2 + I3 ) = 0 Définition dun noeud I-1-2 Loi des mailles Une maille est un parcours fermé sur le circuit . Ce circuit possède 2 noeuds (A et B) et 3 mailles : B, E1 , R1 , A, R3 , B : maille 1 B, R3 , A, R2 , E2 , B : maille 2 B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B : maille 3 La loi des mailles dit que: La somme algébrique des tensions rencontrées dans une maille est nulle. On part et on arrive en un point de même potentiel. Le circuit et ses mailles Comment applique-t-on la loi ? Considérons la maille 1. Au départ, le sens des f.é.m. est connu mais pas celui des courants. On leur en affecte un à priori et on flèche les tensions aux bornes des résistances (en considérant la convention récepteur). On choisit arbitrairement : • un point de départ de la maille (point B) • et un sens de parcours (B, E1 , R1 , A, R3 , B) • On affecte du signe + la tension dont la flèche va dans le sens du parcours de la maille et du signe – la tension dont la flèche va dans le sens contraire. • La loi des mailles donne : E 1 – UR1 – UR3 = 0 Remarque : si le calcul des courant donne une valeur positive cest que le sens choisi est le bon, dans le cas contraire le courant réel est de sens opposé à celui choisi au départ. Exemple : pour le circuit complet considéré, appliquons la loi des mailles à la maille 3 (B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B) On choisit arbitrairement : • le point B comme point de départ de la maille • le sens de parcours (B, E1 , R1 , A, R2 , E2 , B) • On affecte du signe + la tension dont la flèche va dans le sens du parcours et du signe – la tension dont la flèche va dans le sens contraire • La loi des mailles donne : E1 – UR1 – UR2 – E2 = 0 Application de la loi à la maille 1 Application de la loi à la maille 3 I - 1- 3 Méthode de Kirchhoff Donnons la méthode pour le cas général dun circuit électrique qui contient N nœuds (exemple:N= 4) et B branches (B=6) comme dans le circuit ci-contre. Le problème consiste à trouver les intensités dans chacune des branches (I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 ). Il y a B inconnues (B=6). Principe de la méthode : • On écrit la loi des nœuds en (N - 1) nœuds (ici N -1 = 3). Le nombre dinconnues est alors B - (N - 1) = 6 - 3 • On écrit la loi des mailles en B - (N - 1) mailles (soit 3 mailles ici) • Le système obtenu contient alors autant déquations que dinconnues. Sa résolution donne la solution unique recherchée. Méthode générale de Kirchhoff Exemple dapplication : On considère ce circuit c-contre pour lequel on donne : E1 = 110V, R1 = 0.5 W E2 = 105V, R2 = 0.25 W E3 = 90V, R3 = 0.5 W Pour calculer les courants I1 , I2 et I3, on leur choisit un sens, ce qui permet de flécher les tensions aux bornes des résistances. Le circuit ayant deux noeuds, il ny a qune équation de noeuds, en A par exemple: I1 + I2 = I3 équation (1) Il y a 3 mailles, donc on choisit 2 mailles indépendantes afin de compléter le système à résoudre : Maille 1 : A, R1 , E1 , B, E2 , R2 , A , avec le sens de parcours indiqué R1 .I1 - E1 + E2 - R2 .I2 = 0 équation (2) Maille 2 : A, R2 , E2 , B, E3 , R3 , A avec le sens de parcours indiqué R2 .I2 – E2 + E3 + R3 .I3 = 0 équation (3) Résolution: On reprend léquation (2) puis léquation (3) où lon a remplacé I3 par (I1 +I2 ). On obtient le système : R1 .I1 – R2 .I2 = E1 – E2 R3 .I1 + (R2 +R3 ).I2 = E2 – E3 On remplaçant par les valeurs numériques, on a : 0.5*I1 – 0.25*I2 = 5 0.5*I1 + 0.75*I2 = 15 La résolution de ce système donne : I1 = 15A ; I2 = 10A et I3 = I1 + I2 = 25A On remarque que toutes les valeurs sont positives ce qui signifie que les sens arbitrairement choisis des courants correspondent aux sens réels de ceux-ci.. Exemple dapplication numéri
Posted on: Sat, 02 Nov 2013 00:53:52 +0000